如何判断矩阵为对称正定矩阵
实对称矩阵和对角阵区别？
实对称矩阵和对角阵区别？
1数值不同：实对称矩阵里都是实数，对角阵里可以是实数；
2.定义不同：实对称矩阵元素都是实数，且转置等于其本身，对角阵以主对角线对称轴对应相等的方形矩阵，转置矩阵和本身相等
3.性质不同：实对称矩阵特征值都是实数，特征值对应的特征向量都是正交向量，也是实向量。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
而对角阵乘以对称矩阵结果还是对称矩阵。当且仅当两者的乘法可交换。对于任何方形矩阵X，X XT是对称矩阵。A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。对角矩阵都是对称矩阵。对称矩阵定义的主要目的是因为它有一系列良好的性质。比如对称矩阵如果可对角化，那么一定可被正交对角化。因为正交对角化是保正定性的，所以所有本征值为正的对称矩阵是正定的，很好判断。几何上来看，这意味着对称矩阵的本征向量是正交的。
对称正定矩阵的特征值？
对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。
正定矩阵-随机变量的协方差阵一定是正定矩阵吗？如果是？
协方差矩阵不是正定矩阵，因为协方差矩阵和正定矩阵是两种不同性质的矩阵。对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。
协方差矩阵：在统计学与概率论中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差，是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。
正定矩阵：在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
两个正定矩阵的乘积是实对称矩阵？
正定矩阵与负定矩阵的乘积为负定矩阵。
如果A和B都是实对称正定阵，且ABBAB^TA^T(AB)^T
这说明AB是对称阵
再利用AB的特征值都是正数（因为AB相似于对称正定阵A^{1/2}BA^{1/2}）得到AB对称正定。
例如：
证明：因为A,B正定，所以 A^TA,B^TB
(必要性) 因为AB正定，所以 (AB)^TAB
所以 BAB^TA^T(AB)^TAB
(充分性) 因为 ABBA
所以 (AB)^TB^TA^TBAAB
所以 AB 是对称矩阵
由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 AP^TP,BQ^TQ.
故 AB P^TPQ^TQ
而 QABQ^-1QP^TPQ^T (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB相似
故 AB 正定